SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN

 Una ecuación se define como una igualdad que se cumple para algunos, infinitos o para ningún valor de la variable.

Resolver una ecuación implica entonces encontrar los valores de la incógnita que satisfacen dicha igualdad, ahora pensando en la solución de una ecuación.

¿Qué tipo de soluciones tiene una ecuación?

Nótese en la siguiente ecuación:

2x+2=2(x+1)

al resolverla, quedaría:

2x+2=2x+2

2x-2x=2-2

0=0

En este caso notamos que, en el transcurso del proceso la variable o incógnita desapareció y nos quedó una igualdad (0=0), entonces:

¿Cuál es la respuesta a dicha ecuación?

Si pensamos en asignar algún valor arbitrario a la incógnita, por ejemplo el "1", al comprobar, quedaría de la siguiente manera:

con: x=1

2(1)+2=2(1+1)

2+2=2(2)

4=4

Notemos que en este caso se verificó el "1" como solución de la ecuación.

¿Qué pasaría si ahora pensamos en la solución: x=0?

verifiquemos con esta solución:

con: x=0

2(0)+2=2(0+1)

0+2=2(1)

2=2

Nuevamente se ha verificado la solución de la ecuación con el valor de "0"

Podemos concluir entonces que, si en el proceso de resolución de una ecuación se elimina la variable y obtenemos una igualdad, en esos casos la ecuación tiene infinitas soluciones:

Ahora pensemos en la siguiente ecuación:

3(1-x)=2-3x

al resolverle tenemos:

3-3x=2-3x

-3x+3x=2-3

0=-1

evidentemente tenemos que:

0≠-1

Ahora notamos que en este caso también se ha eliminado la variable, sin embargo obtuvimos una relación que no es verdadera (0≠-1).

Si pensamos en tomar algún valor para verificar esta ecuación, se tendría:

con: x=0

3(1-0)=2-3(0)

3(1)=2-0

3≠2

con:  x=1

3(1-1)=2-3(1)

3(0)=2-3

0≠-1

En ambos casos vemos que no se verifica la solución, y es que podríamos tomar infinitos valores para tratar de verificar esta ecuación, sin embargo, no se verificaría con ninguno de ellos, y es que en el proceso de resolución de la ecuación al eliminarse la incógnita se obtuvo una relación falsa (0≠-1), en conclusión la ecuación no tiene solución, es decir tiene solución vacía.

En que casos la ecuación podría tener uncia solución:

Veamos la ecuación:

2x-1=3(x-2)

al resolverla tenemos:

2x-1=3x-6

2x-3x=-6+1

(-1)  -x=-5  (-1)

x=5

Al verificar esta única solución:

2(5)-1=3(5-2)

10-1=3(3)

9=9

Se verifica la ecuación para la solución "5", notamos claramente que en este caso la ecuación tiene única solución:

Por lo tanto podemos ver que una ecuación puede tener única solución, infinitas soluciones o ninguna solución (solución vacía).